Pensa que curva describe un punto da roda dunha bicicleta cando se move en liña recta? Adiviñanza: Que parte dun tren pode ir na dirección oposta ao movemento dese mesmo tren?
A curva que vas estudar a continuación pode axudar a responder á esas dúas preguntas.
Galileo Galilei (Italia, 1564-1642) descubriu a cicloide en 1590. Pouco tempo despois a ponte de Mezzo sobre o río Arno, en Pisa, construíuse cun desefio baseado nesta curva.
Construír a cicloide
Método 1 mecánica da cicloide.
Recorta un círculo de cartolina e marca un punto no bordo.
Pon unha folla de cartolina ou cartón sobre a mesa e colócaa sobre unha regra.
Rola o círculo de cartolina na regra.
Debuxa a curva que describe o punto marcado.
A curva representa a cicloide, isto é, a curva descrita por un punto dunha circunferencia que roda sobre unha liña recta.
Método 2 a cicloide como evoluta
Debuxar dous arcos cicloides polo método anterior nunha folla fixada á mesa.
Chama M e N aos puntos de cada arco que marcan a metade da súa lonxitude.
Fixa un fío no vértice O común para ámbolos dous arcos, cun orificio no extremo libre (para pasar a punta dun lapis), de xeito que a lonxitude do fío sexa igual a metade do arco deseñado no inicio.
Pincha alfinetes a intervalos iguais nos dous medios arcos OM e ON.
Apoiando o fío tenso sobre os alfinetes (de xeito que o fío sempre sexa tanxente á cicloide nos puntos onde están cravados os alfinetes) desliza o lapis de M a N,
O lapis P describe a cicloide como evoluta de si mesma.
A construcción está feita con Geogebra no arquivo cicloidm2.ggb
A evoluta dunha curva é o lugar xeométrico dos seus centros de curvatura, ou tamén o lugar xeométrico dun punto sobre unha recta que "roda" sobre a curva.
NOTA: Huygens utilizou este feito para deseñar o péndulo cicloidal que ten un período independente da amplitude da oscilación.
Propiedades
1.-Christian Huygens descubriu que cicloide é unha curva que resolve o problema da tautócrona, é dicir:
Non importa onde coloques unha partícula nunha cicloide invertida, levaralle o mesmo tempo caer rodando ata o fondo.
doutra maneira, un punto en caída libre chegará ao punto mínimo da cicloide nun tempo que non depende do punto desde onde comezou a caer.
2 -. Jacques Bernoulli en 1696 amosou que a cicloide é unha curva que resolve o problema da braquistócrona:
Atopa a curva ao longo da cal unha partícula vaise desprazar no menor tempo (baixo a influencia da gravidade) desde un punto A ata un punto B inferior, pero non directamente debaixo de A. Xa que logo, a curva de descenso máis rápido é a cicloide.
Esta propiedade é a base para a construción das pistas de patíns e patinetes.
Método 3 a cicloide construída pola súas ecuacións.
x=r (t - sin(t))
y=r (cos(t) - 1)
son as ecuacións paramétricas dunha cicloide invertida. No arquivo cicloidem3.ggb represéntase a cicloide a partir das súas ecuacións.
Outras propiedades que podes demostrar usando as integrais:
A área da superficie delimitada por un arco da cicloide e pola liña onde roda o círculo que a xera é tres veces a área do círculo.
A lonxitude da cicloide é catro veces a lonxitude do diametro do circulo que a xera.
Imos facer a área. Ver o resultado no arquivo area.pdf